Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Góc tạo bởi đường thẳng

Câu hỏi số 535252:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Góc tạo bởi đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {AA'C} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích khối lăng trụ bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535252

Phương pháp giải

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(BM \bot \left( {AA'C} \right)\).

- Xác định góc giữa \(A'B\) và \(\left( {AA'C} \right)\) là góc giữa \(A'B\) và hình chiếu vuông góc của \(A'B\) lên \(\left( {AA'C} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và định lí Pytago tính \(AA'\).

- Tính thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( {AA'C} \right)\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {AA'C} \right) = AC\\BM \subset \left( {ABC} \right) \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {AA'C} \right)\)

\( \Rightarrow A'M\) là hình chiếu vuông góc của \(A'B\) lên \(\left( {AA'C} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {AA'C} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;A'M} \right) = \angle BA'M = {30^0}\).

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra \(A'M = BM.\cot {30^0} = \dfrac{{3a}}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago: \(A'A = \sqrt {A'{M^2} - A{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.