Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {4;6;2} \right)\), \(B\left( {2; - 2;0} \right)\) và mặt
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {4;6;2} \right)\), \(B\left( {2; - 2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z = 0\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi thuộc \(\left( P \right)\) và đi qua \(B\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\). Biết rằng khi \(d\) thay đổi thì \(H\) thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\). Chứng minh \(K\) cố định.
- Chứng minh \(\angle BHK = {90^0} \Rightarrow H\) thuộc đường tròn đường kính BK.
- Viết phương trình AK, tìm tọa độ điểm K.
- Tính BK.
- Tính diện tích hình tròn bán kính R là \(S = \pi {R^2}\).
Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\). Vì \(A,\,\,\left( P \right)\) cố định nên \(K\) cố định.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AH\\BH \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BH \bot HK\) \( \Rightarrow \angle BHK = {90^0}\).
\( \Rightarrow H\) nhìn \(BK\) cố định dưới 1 góc \({90^0}\) \( \Rightarrow H\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) đường kính \(BK\) không đổi.
Phương trình đường thẳng \(AK\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 6 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}K \in AK \Rightarrow K\left( {4 + t;6 + t;2 + t} \right)\\K \in \left( P \right) \Rightarrow 4 + t + 6 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 4\end{array}\)
\( \Rightarrow K\left( {0;2; - 2} \right)\) \( \Rightarrow BK = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 \).
\( \Rightarrow {R_{\left( C \right)}} = \dfrac{1}{2}BK = \sqrt 6 \).
Vậy \({S_{\left( C \right)}} = \pi R_{\left( C \right)}^2 = 6\pi \).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
