Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {4;6;2} \right)\), \(B\left( {2; - 2;0} \right)\) và mặt

Câu hỏi số 535258:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {4;6;2} \right)\), \(B\left( {2; - 2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z = 0\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi thuộc \(\left( P \right)\) và đi qua \(B\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\). Biết rằng khi \(d\) thay đổi thì \(H\) thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng

A. \(4\pi \)

B. \(\pi \)

C. \(6\pi \)

D. \(3\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535258

Phương pháp giải

- Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\). Chứng minh \(K\) cố định.

- Chứng minh \(\angle BHK = {90^0} \Rightarrow H\) thuộc đường tròn đường kính BK.

- Viết phương trình AK, tìm tọa độ điểm K.

- Tính BK.

- Tính diện tích hình tròn bán kính R là \(S = \pi {R^2}\).

Giải chi tiết

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\). Vì \(A,\,\,\left( P \right)\) cố định nên \(K\) cố định.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AH\\BH \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BH \bot HK\) \( \Rightarrow \angle BHK = {90^0}\).

\( \Rightarrow H\) nhìn \(BK\) cố định dưới 1 góc \({90^0}\) \( \Rightarrow H\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) đường kính \(BK\) không đổi.

Phương trình đường thẳng \(AK\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 6 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}K \in AK \Rightarrow K\left( {4 + t;6 + t;2 + t} \right)\\K \in \left( P \right) \Rightarrow 4 + t + 6 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 4\end{array}\)

\( \Rightarrow K\left( {0;2; - 2} \right)\) \( \Rightarrow BK = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 \).

\( \Rightarrow {R_{\left( C \right)}} = \dfrac{1}{2}BK = \sqrt 6 \).

Vậy \({S_{\left( C \right)}} = \pi R_{\left( C \right)}^2 = 6\pi \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.