Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(y\) sao cho tương ứng với mỗi \(y\) luôn tồn tại
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(y\) sao cho tương ứng với mỗi \(y\) luôn tồn tại không quá 15 số nguyên \(x\) thỏa mãn điều kiện \({\log _{2021}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) \ge {\log _2}\left( {x - y} \right)\)?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt \(f\left( x \right) = {\log _{2021}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) - {\log _2}\left( {x - y} \right)\) (coi \(y\) là tham số).
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} > 0\\{y^2} + y + 16 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\x - y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} > 0\\x > y\end{array} \right.\).
Do \(x,\,\,y \in \mathbb{Z}\) nên \(x > y \ge - {y^2}\) \( \Rightarrow x \ge y + 1\).
Xét hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {y + 1; + \infty } \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + {y^2}} \right)\ln 2021}} - \dfrac{1}{{\left( {x - y} \right)\ln 2}}\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} > x - y\\\ln 2021 > \ln 2\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + {y^2}} \right)\ln 2021}} < \dfrac{1}{{\left( {x - y} \right)\ln 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \ge y + 1\).
Ta có BBT hàm số \(f\left( x \right)\) như sau:
(Do yêu cầu bài toán là tồn tại không quá 15 số nguyên \(x\) nên ta xét trên đoạn \(\left[ {y + 1;y + 16} \right]\)).
Yêu cầu bài toán trở thành \(f\left( {y + 16} \right) < 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) - {\log _2}\left( {y + 16 - y} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) - 4 < 0\\ \Leftrightarrow {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right).{\log _{2021}}2022 + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) < 4\\ \Leftrightarrow {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right)\left[ {{{\log }_{2021}}2022 + 1} \right] < 4\\ \Leftrightarrow {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) < \dfrac{4}{{{{\log }_{2021}}2022 + 1}}\\ \Leftrightarrow {2022^{{{\log }_{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right)}} < {2022^{\dfrac{4}{{{{\log }_{2021}}2022 + 1}}}}\\ \Leftrightarrow {y^2} + y + 16 - {2022^{\dfrac{4}{{{{\log }_{2021}}2022 + 1}}}} < 0\\ \Leftrightarrow - 2021 \le y \le 2020\,\,\left( {y \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy có 4042 giá trị của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
