Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2}

Câu hỏi số 535980:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2}\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:535980

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

- Đưa phương trình hoành độ giao điểm về dạng tích.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2} = 0\,\,\left( 1 \right)\).

Để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2}\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Thay \(x = 1\) vào phương trình (1) ta có \(1 + m + 2 + {m^2} - m - 3 - {m^2} = 0\) nên \(x = 1\) là một nghiệm của (1). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2} = 0\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2} = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để (1) có 3 nghiệm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 3} \right)^2} - 4{m^2} > 0\\1 + m + 3 + {m^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} + 6m + 9 > 0\\{m^2} + m + 4 \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m < 3\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.