Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để tồn tại cặp số thực dương \(\left( {x;y}

Câu hỏi số 535984:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để tồn tại cặp số thực dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đẳng thức \(\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}\) và phương trình \(\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\) có nghiệm?

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:535984

Phương pháp giải

- Đối với phương trình \(\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}\), sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

- Đưa phương trình \(\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\) về chỉ còn ẩn \(x\), đặt ẩn phụ \(t = {\log _3}x\), tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

Giải chi tiết

Vì \(\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}} > 0\), \(x,\,\,y > 0 \Rightarrow xy - 1 > 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {x^2} - 2xy + y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) = {x^2} - 2xy + y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) + 1 + 2xy - 2 = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) + {\log _2}2 + 2xy - 2 = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2xy - 2} \right) + \left( {2xy - 2} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(f\left( {2xy - 2} \right) = f\left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow 2xy - 2 = {x^2} + y\)\( \Leftrightarrow 2\left( {xy - 1} \right) - y = {x^2}\).

Xét phương trình \(\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\) (1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {{x^2}} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _3}x\), phương trình trở thành \({t^2} - 2mt + 2{m^2} - m = 0\) (2)

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm \( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + m = - {m^2} + m \ge 0\) \( \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.