Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để tồn tại cặp số thực dương \(\left( {x;y}

Câu hỏi số 535984:
Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để tồn tại cặp số thực dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đẳng thức \(\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}\) và phương trình \(\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\) có nghiệm?

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Câu hỏi:535984
Phương pháp giải

- Đối với phương trình \(\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}\), sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

- Đưa phương trình \(\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\) về chỉ còn ẩn \(x\), đặt ẩn phụ \(t = {\log _3}x\), tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

Giải chi tiết

Vì \(\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}} > 0\), \(x,\,\,y > 0 \Rightarrow xy - 1 > 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {x^2} - 2xy + y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) = {x^2} - 2xy + y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) + 1 + 2xy - 2 = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) + {\log _2}2 + 2xy - 2 = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2xy - 2} \right) + \left( {2xy - 2} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(f\left( {2xy - 2} \right) = f\left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow 2xy - 2 = {x^2} + y\)\( \Leftrightarrow 2\left( {xy - 1} \right) - y = {x^2}\).

Xét phương trình \(\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\)  (1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {{x^2}} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _3}x\), phương trình trở thành \({t^2} - 2mt + 2{m^2} - m = 0\)  (2)

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm \( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + m =  - {m^2} + m \ge 0\) \( \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com