Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để tồn tại cặp số thực dương \(\left( {x;y}

Câu hỏi số 535984:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để tồn tại cặp số thực dương $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn đẳng thức $\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}$ và phương trình $\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0$ có nghiệm?

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535984

Phương pháp giải

- Đối với phương trình $\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}$ , sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

- Đưa phương trình $\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0$ về chỉ còn ẩn $x$ , đặt ẩn phụ $t = {\log _3}x$ , tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

Giải chi tiết

Vì $\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}} > 0$ , $x,\,\,y > 0 \Rightarrow xy - 1 > 0$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {2^{{x^2} - 2xy + y + 1}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{xy - 1}}{{{x^2} + y}} = {x^2} - 2xy + y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) = {x^2} - 2xy + y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) + 1 + 2xy - 2 = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy - 1} \right) + {\log _2}2 + 2xy - 2 = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2xy - 2} \right) + \left( {2xy - 2} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + {x^2} + y\end{array}$

Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right) = {\log _2}t + t$ ta có $f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0$ , do đó hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

Khi đó $f\left( {2xy - 2} \right) = f\left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow 2xy - 2 = {x^2} + y$ $\Leftrightarrow 2\left( {xy - 1} \right) - y = {x^2}$ .

Xét phương trình $\dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {2\left( {xy - 1} \right) - y} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0$ (1)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\log _3^2\left( {{x^2}} \right) - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x - 2m{\log _3}x + 2{m^2} - m = 0\end{array}$

Đặt $t = {\log _3}x$ , phương trình trở thành ${t^2} - 2mt + 2{m^2} - m = 0$ (2)

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm $\Rightarrow \Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + m = - {m^2} + m \ge 0$ $\Leftrightarrow 0 \le m \le 1$

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}$ .

Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.