Cho ba số thực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 2013 Chứng minh + + ≤ 1 Dấu đẳng thức xảy

Câu hỏi số 53815:

Cho ba số thực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 2013

Chứng minh $\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}$ + $\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}$ + $\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}$ ≤ 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

A. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 669

B. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 670

C. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 672

D. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 671

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:53815

Giải chi tiết

Ta có 2013a + bc = (a + b + c)a + bc = a² + ab + ac +bc = a² +bc + a(b + c)

Theo BĐT Cô-Si cho hai số dương ta có a² + bc ≥ 2a√(bc). Từ đó

A² + bc + a(b + c) ≥ 2a√(bc) + a( b + c) = a(a + b + c + 2√(bc) = a(√b + √c)²

Vậy $\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}$ ≤ $\frac{a}{a+\sqrt{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}}$ = $\frac{a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$ = $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ (1)

Chứng minh tương tự được

$\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}$ ≤ $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ (2)

và $\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}$ ≤ $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ (3)

$\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}$ + $\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}$ + $\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}$ ≤ $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ = 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : a² = bc; b² = ca; c² = ab; a+ b + c = 2013

⇔ a = b = c = 671

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link