Trong không gian cho Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0), B(0;4;0), O1(0;0;4). Gọi M là trung điểm AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA, AA1 lần lượt tại N, K. Tính độ dài KN.

Câu hỏi số 5387:

Trong không gian cho Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O₁A₁B₁ với A(2;0;0), B(0;4;0), O₁(0;0;4). Gọi M là trung điểm AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O₁A và cắt OA, AA₁ lần lượt tại N, K. Tính độ dài KN.

A. KN = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

B. KN = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. KN = $\frac{\sqrt{7}}{2}$

D. KN = $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5387

Giải chi tiết

M là trung điểm AB nên M(1;2;0).

Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O₁A nên (P) có một vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow{O_{1}A}$ = (2;0;-4) => $\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{O_{1}A}=\overrightarrow{n_{P}}=(2;0;-4)\\quaM(1;2;0)\end{matrix}\right.$

=>(P):2(x -1) + 0(y -2) -4(z – 0) = 0

⇔ (P): x – 2z -1 = 0.

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ = (2;0;0)=> $\left\{\begin{matrix}x=2+2t\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.$

N=OA ∩(P)=>N(2+2t;0;0) và tọa độ của N thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x=2+2t\\y=0\\z=0\\x-2z-1=0\end{matrix}\right.$ => 2 + 2t – 0 – 1 = 0=> t = - $\frac{1}{2}$

Vậy thay t vào hệ phương trình ta được: N(1;0;0)

$\overrightarrow{AA_{1}}$ = $\overrightarrow{OO_{1}}$ = (0;0;4)

=>AA₁: $\left\{\begin{matrix}x=2\\y=0\\z=0+4t\end{matrix}\right.$

=>K=AA₁∩ (P)=>K(2;0;0+4t)=> tọa độ của K thỏa mãn hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x=2\\y=0\\z=4t\\x-2z-1=0\end{matrix}\right.$

=> 2 – 8t -1 = 0=>t = $\frac{1}{8}$

Thay t = $\frac{1}{8}$ vào hệ ta tìm được K(2;0; $\frac{1}{2}$ )

Vậy $\overrightarrow{KN}$ = (-1;0; - $\frac{1}{2}$ ) =>| $\overrightarrow{KN}$ | = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ => KN = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.