Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định nằm trong đường tròn và không trùng với tâm O. Qua điểm A vẽ một dây tùy ý. Tìm tập hợp giao điểm N của các tiếp tuyến với đường tròn mà hai tiếp điểm là hai đầu của dây đó.

Câu hỏi số 54009:

A. Đường thẳng n vuông góc với tia OB tại A mà $OB=\frac{R^{2}}{OA}$

B. Đường thẳng n song song với tia OA

C. Đường thẳng n song song với tia OB

D. Đường thẳng n vuông góc với tia OA tại B mà $OB=\frac{R^{2}}{OA}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:54009

Giải chi tiết

Thuận: Giả sử dây cung PQ đi qua A. Hai tiếp tuyến qua P và Q cắt nhau tại N, ON cắt PQ tại C. Từ N kẻ đường thẳng n vuông góc với OA, cắt đường thẳng OA tại B.

Hai tam giác vuông AOC và NOB đồng dạng (có góc AOC chung)

=> $\frac{OA}{ON}=\frac{OC}{OB}$ => $OB=\frac{ON.OC}{OA}$

Trong ∆ OPN (OP ┴ PN bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm), ta có:

$OP^{2}=OC.ON$

Do đó $OB=\frac{OP^{2}}{OA}=\frac{R^{2}}{OA}$ (1) , OA cố định, R không đổi nên OB không đổi, điểm B nằm trên tia OA nên điểm B cố định. Vậy điểm N nằm trên đường thẳng n vuông góc với tia OA tại B.

Đảo: Lấy điểm N' bất kì trên đường thẳng n. Từ N' kẻ tiếp tuyến N'P', N'Q' với đường tròn (O; R) (P' và Q' là tiếp điểm).

Ta phải chứng minh P'Q' đi qua A.

Thật vậy giả sử P'Q' cắt ON' tại C' và tia OA tại A'.

Chứng minh tương tự như phần thuận ta có: $OB=\frac{R^{2}}{OA'}$ (2)

So sánh (1) và (2) suy ra $\frac{R^{2}}{OA'}=\frac{R^{2}}{OA}$ => OA' = OA

Vậy trên tia OB, A' trùng với A, hay P'Q' đi qua A.

Kết luận: Tập hợp giao điểm N là đường thẳng n vuông góc với tia OA tại B mà $OB=\frac{R^{2}}{OA}$

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link