Cho \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(BC\). Điểm \(A\) thuộc đường tròn. Kẻ \(AH \bot BC;HE \bot

Câu hỏi số 540642:

Vận dụng

Cho \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(BC\). Điểm \(A\) thuộc đường tròn. Kẻ \(AH \bot BC;HE \bot AB;HF \bot AC\). Đường thẳng \(EF\) cắt đường tròn tại \(M\) và \(N\).

a) Chứng minh \(AEHF\) là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \(AE.AB = AF.AC\).

c) Chứng minh tam giác \(AMN\) cân tại \(A\).

d) Cho \(BC\) cố định, \(A\) đi động trên cung \(BC\) lớn. Chứng minh đường tròn tâm \(A\), bán kính \(AM\) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540642

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( O \right):\angle BAC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác \(AEHF\): \(\left\{ \begin{array}{l}EAF = {90^0}\left( {cmt} \right)\\\angle AEH = {90^0}\left( {HE \bot AB} \right)\\\angle AFH = {90^0}\left( {HF \bot AC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật (dhnb hình chữ nhật)

b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\left( {AH \bot BC} \right);HE \bot AB\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow A{H^2} = AE.AB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Cmtt: ta có: \(A{H^2} = AF.AC\)

\( \Rightarrow AE.AB = AF.AC\left( { = A{H^2}} \right)\) (đpcm)

c) *) Gọi \(MN \cap OA = \left\{ I \right\}\)

\(OA = OC = R \Rightarrow \Delta AOC\) cân tại \(O\) (dhnb tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle IAF = \angle OCA\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) \(\Delta AFE = \Delta EHA\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle IFA = \angle EHA\)

Mà \(\angle EHA = \angle ABH\) (cùng phụ với \(\angle BAH\))

\( \Rightarrow \angle IFA = \angle ABH\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mà \(\angle ABH + \angle OCA = {90^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) \(\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3): \(\angle IAF + \angle IFA = {90^0} \Rightarrow \Delta AIF\) vuông tại \(I \Rightarrow OA \bot MN\)

Xét \(\Delta OMN:OM = ON = R\)

\( \Rightarrow \Delta MON\) cân tại \(O\) (dhnb tam giác cân)

Mà \(OA \bot MN\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OA\) là trung trực của \(MN\) (t/c tam giác cân)

\( \Rightarrow AM = AN\) (t/c điểm thuộc trung trực)

\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A\) (dhnb tam giác cân)

d) \(\Delta AMF \sim ACM\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AF}}{{AM}}\) (đ/n hai tam giác đồng dạng

\( \Rightarrow A{M^2} = AF.AC\)

Mà \(A{H^2} = AF.AC\)

\( \Rightarrow A{M^2} = A{H^2} \Rightarrow AM = AH\)

\( \Rightarrow H \in \left( {A;AM} \right)\)

Ta có: \(BC \bot AH\) tại \(H\)

Mà \(AH\) là bán kính của \(\left( {A;AM} \right)\)

\( \Rightarrow BC\) là tiếp tuyến của \(\left( {A;AM} \right)\)

Mà \(\left( {A;AM} \right)\) cố định

\( \Rightarrow \left( {A;AM} \right)\) tiếp xúc với \(BC\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link