Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O;R} \right)\,\,\left( {AB < AC}
Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O;R} \right)\,\,\left( {AB < AC} \right)\). Các đường cao \(AF,BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\).
1) Chứng minh tứ giác \(BEDC\) nội tiếp được.
2) Chứng minh: \(AE.AB = AD.AC\)
3) Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(BC\). Chứng minh rằng \(K\) thuộc \(\left( O \right)\).
4) Gọi \(E\) là trung điểm \(BC;AE\) cắt \(HO\) tại \(G\). Chứng minh \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Quảng cáo
1) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BEC = {90^0}\left( {CE \bot AB} \right)\\\angle BDC = {90^0}\left( {BD \bot AC} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle BEC = \angle BDC\)
Xét tứ giác \(BEDC\) có: \(\angle BEC = \angle BDC\left( { = {{90}^0}} \right)\)
Mà \(E,D\) là hai đỉnh kề nhau
\( \Rightarrow BEDC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
2) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle BAC\,\,chung\\\angle ADB = \angle AEC = {90^0}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \Delta ADB \sim \Delta AEC\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (đ/n hai tam giác đồng dạng)
\( \Rightarrow AE.AB = AD.AC\) (đpcm)
3) *) Chứng minh: tứ giác \(AEHD\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \angle EAD + \angle EHD = {180^0}\) (t/c tgnt) (1)
Ta có: \(K\) đối xứng với \(H\) qua \(BC \Rightarrow \angle BKC = \angle BHC\) (t/c đối xứng)
Mà \(\angle BHC = \angle EHD\) (hai góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \angle BKC = \angle EHD\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2): \(\angle BKC + \angle BAC = {180^0}\)
Xét tứ giác \(ABKC:\angle BAC + \angle BKC = {180^0}\)
Mà \(\angle BAC;\angle BKC\) là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow ABKC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
\(A;B;C \in \left( O \right) \Rightarrow K \in \left( O \right)\)
4) *) Kẻ đường kính \(AI\)\( \Rightarrow \angle ACI = {90^0} \Rightarrow IC \bot AC\) mà \(BH \bot AC \Rightarrow IC//BH\)
Cmtt: \(BI//HC \Rightarrow \) tứ giác \(BHCI\) là hình bình hành
\( \Rightarrow BC\) cắt \(HI\) tại trung điểm mỗi đường
\(E\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow E\) là trung điểm của \(HI\)
Xét \(\Delta AHI\): \(AE\) là trung tuyến, \(HO\) là trung tuyến
\(AE \cap HO = \left\{ G \right\} \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta AHI\)
\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AE\)
Xét \(\Delta ABC:AE\) là trung tuyến, \(G \in AE;AG = \dfrac{2}{3}AE\)
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
