Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Từ một điểm \(A\) nằm ngoài \(\left( O \right)\) kẻ hai
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Từ một điểm \(A\) nằm ngoài \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB;AC\) và cát tuyến \(ADE\) tới đường tròn tâm \(O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(DE\). \(AO\) cắt \(BC\) tại \(H\). Chứng minh rằng :
1) Năm điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}O,{\rm{ }}I\) thuộc một đường tròn.
2) \(OH.{\rm{ }}OA{\rm{ }} = {\rm{ }}{R^2}\)
3) Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(AC\) cắt \(CB\) tại \(M\) và \(CE\) tại \(N\).Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(DN\).
4) Lấy điểm \(P\) bất kỳ trên đoạn thẳng \(BC\). Kẻ \(AQ \bot OP\,\left( {Q \in OP} \right)\). Tìm GTNN của \(S = 4OP + OQ.\)
Quảng cáo
1) CMR: \(5\) điểm \(A,B,C,O,I\) cùng thuộc \(1\) đường tròn
Xét \(\left( O \right)\) có \(I\) là trung điểm \(DE\) (gt)
\( \Rightarrow OI \bot DE\) (định lí về quan hệ giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \angle OIA = {90^o}\)
\( \Rightarrow I\) thuộc đường tròn đường kính \(OA\)
\( \Rightarrow \angle OBA = {90^o}\)\(\left( {AB \bot OB} \right)\)
\( \Rightarrow B\) thuộc đường tròn đường kính \(OA\)
\(\angle OCA = {90^o} \Rightarrow C\) thuộc đường tròn đường kính \(OA\)
Vậy \(5\) điểm \(A,B,C,O,I\) cùng thuộc \(1\) đường tròn cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA\).
2) CMR: \(OH = OA = {R^2}\)
Ta có: \(AB,AC\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow OA \bot BC\)
Xét tam giác \(OBA\) vuông tại \(B\) ta có: \(BH \bot OA\)\( \Rightarrow O{B^2} = OH.OA\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Suy ra \(OA = OH = {R^2}\,\left( {OB = R} \right)\) (đpcm)
3) Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(AC\) cắt \(CB\) tại \(M\) và \(CE\) tại \(N\). Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(DN\).
Xét đường tròn đường kính \(OA\) qua \(A,B,O,I,C\)
\(\angle IBM = \angle IAC\) (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung \(IC\))
\(MN\,//\,AC\) (gt) \( \Rightarrow \angle IDM = \angle IAC\) (2 góc đồng vị)
Suy ra \(\angle IBM = \angle IDM\)
\( \Rightarrow IBDM\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle IMB = \angle IDM\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(IB\))
Mà \(\angle IDB = \angle ECB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(EB\))
\(\angle IMB = \angle ECB\). Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
\(IM//EC\)
Xét \(\Delta EDN\) ta có: \(I\) là trung điểm \(ED\); \(IM//EN\)
Suy ra \(M\) là trung điểm \(ND\) (đpcm)
4) Lấy điểm \(P\) bất kỳ trên đoạn thẳng \(BC\). Kẻ \(AQ \bot OP\,\left( {Q \in OP} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(S{\rm{ }} = {\rm{ }}4OP{\rm{ }} + {\rm{ }}OQ.\)
\(\Delta OHP\) đồng dạng \(\Delta OQA \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OQ}} = \dfrac{{OP}}{{OA}}\)
\( \Rightarrow OP.OQ = OH.OA = {R^2}\)
\( \Rightarrow 4OP.OQ = 4{R^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(4\,OP\) và \(OQ\) ta có:
\(4OP + OQ \ge 2\sqrt {4.OP.OQ} \)
\( \Leftrightarrow S \ge 2\sqrt {4{R^2}} \Leftrightarrow S \ge 4R\)
Suy ra \(\min \,S = 4R\)
\( \Leftrightarrow 4\,OP = \,OQ\)
Mà \(OP.OQ = {R^2}\)
\( \Rightarrow OP.4OP = {R^2}\)
\( \Leftrightarrow O{P^2} = \dfrac{{{R^2}}}{4} \Leftrightarrow OP = \dfrac{R}{2}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
