Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(C\) thuộc đoạn thẳng đó (\(C\) khác \(A\) và \(B\)). Trên cùng
Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(C\) thuộc đoạn thẳng đó (\(C\) khác \(A\) và \(B\)). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB\), vẽ hai tia \(Ax,{\rm{ }}By\) cùng vuông góc với \(AB\). Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(M\) cố định. Kẻ tia \(Cz\) vuông góc với \(CM\) tại \(C\), tia \(Cz\) cắt tia \(By\) tại \(K\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MC\) cắt \(MK\) tại \(E\).
1. Chứng minh tứ giác \(CEKB\) là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh \(AM.{\rm{ }}BK{\rm{ }} = {\rm{ }}AC.{\rm{ }}BC\)
3. Chứng minh tam giác \(AEB\) là tam giác vuông.
4. Cho \(A,B,M\) cố định. Tìm vị trí của \(C\) để diện tích tứ giác \(ABKM\) lớn nhất.
Quảng cáo
1)
Xét \(\left( O \right):\,\angle CEM = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle CEK = {90^o}\) (kề bù với \(\angle CEM\))
Mà \(\angle CBK = {90^o}\) (do \(By \bot AB\))
\( \Rightarrow \angle CEK + \angle CBK = {180^o}\)
Xét tứ giác \(CEKB\) ta có: \(\angle CEK + \angle CBK = {180^o}\) (cmt)
Mà \(\angle CEK,\angle CBK\) là hai góc đối nhau
Suy ra tứ giác \(CEKB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
2) Ta có: \(\angle MCK = {90^o}\,\left( {MC \bot CK} \right)\)
\( \Rightarrow \angle BCK + \angle ACM = {90^o}\) (do \(\Delta AMC\) vuông tại \(A\))
\( \Rightarrow \angle AMC = \angle BCK\)
xét tam giác \(MAC\) và tam giác \(CBK\) ta có:
\(\angle MAC = \angle CBK = {90^o}\)
\(\angle AMC = \angle BCK\,\)(cmt)
\( \Rightarrow \Delta MAC\) đồng dạng \(\Delta CBK\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{CB}} = \dfrac{{AC}}{{BK}}\) \( \Leftrightarrow AM.BK = AC.BC\) (đpcm)
3) Ta có: \(\angle MAC = {90^o}\,\left( {MA \bot AC} \right)\)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(MC \Rightarrow A \in \left( O \right)\)
xét \(\left( O \right):\,\angle EAC = \angle EMC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\))
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BCEK\) ta có:
\(\angle EBC = \angle EKC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\))
Mà \(\angle EMC + \angle EKC = {90^o}\)
\( \Rightarrow AEB\) vuông tại \(E\) (đpcm).
4) Ta có: \({S_{ABKH}} = \dfrac{1}{2}\left( {AM + BK} \right).AB\)
\(AM,AB\) không đổi \( \Rightarrow {S_{ABKM}}\) max \( \Leftrightarrow BK\) max
Ta có: \(AM.BK = AC.BC \Rightarrow BK = \dfrac{{AC.BC}}{{AM}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho \(AC,BC > 0\)
\(AC + BC \ge 2\sqrt {AC.BC} \Leftrightarrow \sqrt {AC.BC} \le \dfrac{{AC + BC}}{2}\)
\( \Leftrightarrow AC.BC \le {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2}\)
\( \Rightarrow BK\) max \( = \dfrac{{A{B^2}}}{{AM}}\)
\( \Leftrightarrow AC = BC \Leftrightarrow C\) là trung điểm \(AB\)
Vậy \({S_{ABKM}}\) max \( = \dfrac{1}{2}\left( {AM + \dfrac{{A{B^2}}}{{2AM}}} \right).AB\)
\( \Leftrightarrow C\) là trung điểm \(AB\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
