Cho phương trình: \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\) (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2

Câu hỏi số 541104:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\) (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b) Định \(m\) để hai nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) của phương trình (1) thỏa mãn

\(\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {2 - {x_2}} \right) + \left( {1 + {x_2}} \right)\left( {2 - {x_1}} \right) = x_1^2 + x_2^2 + 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541104

Giải chi tiết

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

a) Ta có: \(\Delta = {( - 2m)^2} - 4.1.(m - 2) = 4{m^2} - 4m + 8 = (4{m^2} - 4m + 1) + 7 = {(2m - 1)^2} + 7 \ge 7 > 0\,\forall x\) do đó (1) luôn có 2 nghiệm với mọi \(m\).

b) Định \(m\) để hai nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) của phương trình (1) thỏa mãn

\(\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {2 - {x_2}} \right) + \left( {1 + {x_2}} \right)\left( {2 - {x_1}} \right) = x_1^2 + x_2^2 + 2\)

Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - ( - 2m)}}{1} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\) .

Ta có:

\((1 + {x_1})(2 - {x_2}) + (1 + {x_2})(2 - {x_1}) = 2 + 2{x_1} - {x_2} - {x_1}{x_2} + 2 + 2{x_2} - {x_1} - {x_1}{x_2} = 4 + {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2}\)

\( = 4 + 2m - 2(m - 2) = 8\)

Do vậy:

\(4{m^2} - 2m + 6 = 8 \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 1 = 0 \Leftrightarrow (m - 1)(2m + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\) .

Vậy giá trị của m thỏa mãn là: \(m = 1;{\rm{ }}m = \; - \dfrac{1}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link