Cho \(\Delta {\rm{ }}ABC\left( {AB < AC} \right)\)có ba góc nhọn. Đường tròn tâm \(O\) đường kính
Cho \(\Delta {\rm{ }}ABC\left( {AB < AC} \right)\)có ba góc nhọn. Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt các cạnh \(AC,{\rm{ }}AB\) lần lượt tại \(D,{\rm{ }}E\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\); \(F\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).
a) Chứng minh \(AF \bot BC\) và \(\angle AFD = \angle ACE\)
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh \(MD \bot OD\) và 5 điểm \(M,{\rm{ }}D,{\rm{ }}O,{\rm{ }}F,{\rm{ }}E\) cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\). Chứng minh \(M{D^2} = {\rm{ }}MK.MF\) và \(K\) là trực tâm của \(\Delta MBC\)
d) Chứng minh \(\dfrac{2}{{FK}} = \dfrac{1}{{FH}} + \dfrac{1}{{FA}}\)
Quảng cáo
a) Chứng minh \(AF \bot BC\) và \(\angle AFD = \angle ACE\)
Ta có: \(\angle BEC = \angle BDC = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(BD \bot AC\) và \(CE \bot AB\). Mà \(BD\) cắt \(CE\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\).
Suy ra \(AH \bot BC\)
Vì \(AH \bot BC,{\rm{ }}BD \bot AC\) nên \(\angle HFC = \angle HDC = {90^o}\)
\( \Rightarrow \angle HFC + \angle HDC = {180^o}\)
Suy ra \(HFCD\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle HFD = \angle HCD\)
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh \(MD \bot OD\) và 5 điểm \(M,{\rm{ }}D,{\rm{ }}O,{\rm{ }}F,{\rm{ }}E\) cùng thuộc một đường tròn.
Vì \(M\) là trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông \(ADH\) nên \(MD{\rm{ }} = {\rm{ }}MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MH\)
Tương tự ta có \(ME{\rm{ }} = {\rm{ }}MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MH\)
Suy ra \(MD{\rm{ }} = {\rm{ }}ME\)
Mà \(OD{\rm{ }} = {\rm{ }}OE\) nên \(\Delta OEM = \Delta ODM\,\left( {c.c.c} \right)\) \(\angle MOE = \angle MOD = \dfrac{1}{2}\angle EOD\) (1)
Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung, ta có \(\angle ECD = \dfrac{1}{2}\angle EOD\) (2)
Theo ý a) ta có : \(\angle HFD = \angle HCD = \angle ECD\) (3)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle MOD = \angle HFD\) hay \(\angle MOD = \angle MFD\)
Suy ra tứ giác MFOD là tứ giác nội tiếp (4)
\( \Rightarrow \angle MDO = {180^o} - \angle MFO = {90^o} \Rightarrow MD \bot DO\)
Chứng minh tương tự ta có MEFO là tứ giác nội tiếp (5)
Từ (4) và (5) suy ra 5 điểm M, E, F, O, D cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\). Chứng minh \(M{D^2} = {\rm{ }}MK.MF\) và \(K\) là trực tâm của \(\Delta MBC\)
Chứng minh \(\dfrac{2}{{FK}} = \dfrac{1}{{FH}} + \dfrac{1}{{FA}}\)
Gọi I là giao điểm thứ hai của MC với đường tròn (O)
Ta có góc MDE = góc DCE (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cùng chắn cung DE) hay góc MDK = góc HCD
Mà góc HCD = góc HFD (cmt) ⇒ góc MDK = góc HFD hay góc MDK = góc MFD
Ta có góc MDI = góc MCD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cùng chắn cung DI)
Xét ∆ MKI và ∆ MCF có
⇒ góc MIK = góc MFC = 90o ⇒ KI ⊥ MC
Mà góc BIC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BI ⊥ MC
Suy ra B, K, I thẳng hàng ⇒ BK ⊥ MC
Mà MK ⊥ BC nên K là trực tâm ∆ MBC.
a) Vì MA = MH nên
\(FA.FH = \left( {FM + MA} \right)\left( {FM - MH} \right) = \left( {FM + MA} \right)\left( {FM - MA} \right) = F{M^2} - M{A^2}\)
Vì MD2 = MK. MF (cmt) nên \(FK.FM = \left( {FM - MK} \right).FM = F{M^2} - MK.MF = F{M^2} - M{D^2}\)
Mà \(MD = MA \Rightarrow FA.FH = FK.FM\)
\( \Rightarrow \dfrac{2}{{FK}} = \dfrac{{2FM}}{{FA.FH}} = \dfrac{{\left( {FM + MA} \right) + \left( {FM - MH} \right)}}{{FA.FH}} = \dfrac{{FA + FH}}{{FA.FH}} = \dfrac{1}{{FA}} + \dfrac{1}{{FH}}\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
