Cho \(P = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}};Q = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x - 2}}{{x -

Câu hỏi số 541106:

Thông hiểu

Cho \(P = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}};Q = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\quad \quad x > 0;x \ne 4\)

1) Tính giá trị của P khi \(x = 9\)

2) Rút gọn Q

3) Tìm \(x\) để biểu thức \(\dfrac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541106

Giải chi tiết

1) Tính giá trị của P khi \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}9\)

Thay \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}9\) vào \(P\) ta có: \(P = \dfrac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}} = 12\)

2) Rút gọn Q

\(\begin{array}{l}Q = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\Q = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\Q = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\Q = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\)

3) Tìm \(x\) để biểu thức \(\dfrac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có \(\dfrac{P}{Q} = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x > 0;\dfrac{3}{{\sqrt x }} > 0\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{P}{Q} = \sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{3}{{\sqrt x }}} \\\dfrac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 \end{array}\)

Min \(\dfrac{P}{Q} = 2\sqrt 3 \) khi \(\sqrt x = \dfrac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3(tmdk)\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link