Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh \(a\), góc \(\angle BAD = {60^0}\),

Câu hỏi số 543621:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh \(a\), góc \(\angle BAD = {60^0}\), đường thẳng \(SO\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SO = a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt {51} }}{{19}}\).

C. \(\dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543621

Phương pháp giải

- \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\).

- Tính \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\) rồi suy ra \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Giải chi tiết

Kẻ \(OF \bot BC\,\,\left( {F \in BC} \right) \left( 1 \right)\).

Ta có: \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot BC \left( 2 \right)\).

Từ (1), (2) ta suy ra \(BC \bot \left( {SOF} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SOF} \right)\).

Trong \(\left( {SOF} \right)\) kẻ \(OH \bot SF\). Khi đó \(OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).

\(\Delta ABD\) có \(AB = AD = a,\,\,\angle BAD = {60^0} \Rightarrow AB = AD = BD = a\).

\( \Rightarrow OB = OD = \dfrac{a}{2}\).

\(\Delta ABC\) có \(AB = BC = a,\,\,\angle ABC = {120^0} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow OA = OC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(\Delta OBC\) vuông tại \(O\), \(OF\) là đường cao.

\( \Rightarrow OF = \dfrac{{OB.OC}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

\(\Delta SOF\) vuông tại \(O\), \(OH\) là đường cao.

\( \Rightarrow OH = \dfrac{{SO.OF}}{{\sqrt {S{O^2} + O{F^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{\sqrt {57} }}{{19}}\).

Mà \(AC = 2OC \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{2\sqrt {57} }}{{19}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.