Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} - {2^{ - x}} + 2022{x^3}\). Biết rằng tồn tại số thực \(m\) sao

Câu hỏi số 543620:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} - {2^{ - x}} + 2022{x^3}\). Biết rằng tồn tại số thực \(m\) sao cho bất phương trình \(f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) + f\left( {\left( {x - m - 37} \right){{.2}^x}} \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Hỏi \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {30;50} \right)\).

B. \(\left( {10;30} \right)\).

C. \(\left( {50;70} \right)\).

D. \(\left( { - 10;10} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543620

Phương pháp giải

- Chứng minh hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ và đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

- Với \(a,\,\,b \in \mathbb{R},\,\,f\left( a \right) + f\left( b \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 0\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = {2^x} - {2^{ - x}} + 2022{x^3}\).

\(f\left( { - x} \right) = {2^{ - x}} - {2^x} - 2022{x^3} = - f\left( x \right)\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Lại có: \(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + {2^{ - x}}\ln 2 + 6066{x^2} > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ta có bổ đề: Với \(a,\,\,b \in \mathbb{R},\,\,f\left( a \right) + f\left( b \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 0\).

Chứng minh bổ đề:

\(f\left( a \right) + f\left( b \right) \ge 0 \Leftrightarrow f\left( a \right) \ge - f\left( b \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) \ge f\left( { - b} \right) \Leftrightarrow a \ge - b \Leftrightarrow a + b \ge 0\) (đpcm)

Ta có: hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ và đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) + f\left( {\left( {x - m - 37} \right){{.2}^x}} \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4^x} - mx + 37m + \left( {x - m - 37} \right){2^x} \ge 0\\ \Leftrightarrow {4^x} - m\left( {x - 37} \right) - m{.2^x} + \left( {x - 37} \right){2^x} \ge 0\\ \Leftrightarrow {2^x}\left( {{2^x} - m} \right) + \left( {x - 37} \right)\left( {{2^x} - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{2^x} - m} \right)\left( {{2^x} + x - 37} \right) \ge 0 & \left( * \right)\end{array}\)

Xét \(g\left( x \right) = {2^x} + x - 37,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5\\g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 5\\g\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < 5\end{array} \right.\)

Như vậy \(\left( * \right)\) có nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} - m = 0 \Leftrightarrow x = 5\\{2^x} - m > 0 \Leftrightarrow x > 5\\{2^x} - m < 0 \Leftrightarrow x < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 32\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.