Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), vẽ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) (\(A\)

Câu hỏi số 545862:

Vận dụng

Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), vẽ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) (\(A\) và \(B\) là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh: Tứ giác \(MAOB\) nội tiếp và \(OM \bot AB\).

b) Vẽ cắt tuyến \(MCD\) không đi qua tâm \(O\) (\(MC < MD\), tia \(MD\) nằm giữa hai tia \(MA\) và \(MO\)), vẽ \(OE \bot CD\) tại \(E\). Chứng minh: \(M{A^2} = MC.MD\) và \(ME\) là phân giác của \(\angle AEB\).

c) Vẽ \(CF//AM\) (\(F\) thuộc \(AE\)), \(CD\) cắt \(AB\) tại \(I\). Chứng minh: \(FI//AC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:545862

Phương pháp giải

a) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

+ Ta sẽ chứng minh: \(OM\) là đường trung trực của đoạn \(AB \Rightarrow OM \bot AB\).

b) + Ta sẽ chứng minh: \(\Delta MAC \sim \Delta MDA\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\)

+ Ta sẽ chứng minh: \(\angle MEB = \angle MOB\,\,\,\left( 1 \right);\,\angle AEM = \angle AOM\,\,\,\left( 2 \right);\,\angle AOM = \angle MOB\,\,\left( 3 \right)\)

Từ đó, suy ra \(EM\) là đường phân giác của \(\angle AEB\).

c) Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{{EC}}{{EM}}\) và \(\dfrac{{EC}}{{EM}} = \dfrac{{EI}}{{EC}}\), từ đó suy ra \(\dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{{EI}}{{EC}}\)\( \Rightarrow IF//AC\) (Định lý Ta – lét đảo)

Giải chi tiết

a) + \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow MA \bot AO \Rightarrow \angle MAO = {90^0}\)

\(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow MB \bot BO \Rightarrow \angle MBO = {90^0}\)

Tứ giác \(MAOB\) có: \(\angle MAO + \angle MBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà \(\angle MAO;\angle MBO\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow MAOB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

+ \(MA,MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: \(OA = OB = R\)

\( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn \(AB\)

\( \Rightarrow OM \bot AB\)

b) + Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle ADC = \angle ACM\) (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\))

\( \Rightarrow \angle ADM = \angle MAC\)

Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AMD\,\,chung\\\angle MAC = \angle ADM\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDA\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}}\\ \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

+ Xét \(\left( O \right)\) có: \(OE \bot CD \Rightarrow \angle CEO = {90^0} \Rightarrow \angle MEO = {90^0}\)

Tứ giác \(BMEO\) có: \(\angle MEO + \angle MBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà \(\angle MEO;\angle MBO\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow BMEO\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle MEB = \angle MOB\) (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BM\))

Tứ giác \(AEOM\) có: \(\angle MAO = \angle MEO = {90^0}\) mà hai đỉnh \(A,E\) kề nhau

\( \Rightarrow AEOM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle AEM = \angle AOM\) (2) (góc nội tiếp cùng chăn cung \(AM\))

+ \(MA,MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow OM\) là phân giác \(\angle AOB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \angle AOM = \angle MOB\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\angle AEM = \angle MEB\)

\( \Rightarrow EM\) là phân giác của \(\angle AEB\) (đpcm).

c) + Ta có: \(CF//AM\left( {gt} \right) \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{{EC}}{{EM}}\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
+ Ta có: \(\angle MAB = \angle AOM\) (vì cùng phụ với \(\angle BAO\))

Lại có: \(\angle AEM = \angle AOM\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle MAB = \angle AEM\)

\( \Rightarrow \angle MAI = \angle AEM\)

Xét \(\Delta MAI\) và \(\Delta MEA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AME\,\,chung\\\angle MAI = \angle AEM\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MAI \sim \Delta MEA\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{ME}} = \dfrac{{MI}}{{MA}}\\ \Rightarrow M{A^2} = MI.ME\end{array}\)

Mà \(M{A^2} = MC.MD\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow MC.MD = MI.ME\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {ME - EC} \right)\left( {ME + ED} \right) = MI.ME\\ \Rightarrow M{E^2} - E{C^2} = MI.ME\\ \Rightarrow E{C^2} = M{E^2} - ME.MI = ME.IE\\ \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{EM}} = \dfrac{{EI}}{{EC}}\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\end{array}\)

Từ (4) và (5), suy ra \(\dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{{EI}}{{EC}}\)\( \Rightarrow IF//AC\) (Định lý Ta – lét đảo)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link