Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn f’(x) – f(x) = ex và f(0) = 1.

Câu hỏi số 546118:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn f’(x) – f(x) = e^x và f(0) = 1. Tính f’(1).

A. f(1) = e

B. f(1) = 2e

C. f(1) = e + 1

D. f(1) = e – 1

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:546118

Phương pháp giải

- Sử dụng đạo hàm một tích: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).

- Lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) - f\left( x \right) = {e^x}\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}f'\left( x \right) - {e^x}f\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f'\left( x \right) + \left( {{e^{ - x}}} \right)'.f\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{e^{ - x}}f\left( x \right)} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow \int {\left( {{e^{ - x}}f\left( x \right)} \right)'dx} = \int {dx} \\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}f\left( x \right) = x + C\end{array}\)

Lại có \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow {e^{ - 0}}.f\left( 0 \right) = 0 + C \Leftrightarrow C = 1\).

Do đó \({e^{ - x}}f\left( x \right) = x + 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\).

Vậy \(f\left( 1 \right) = 2e\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.