Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. \(AB = a\sqrt 3 ,AD = a,SA\) vuông góc với đáy và

Câu hỏi số 547239:

Vận dụng

Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. \(AB = a\sqrt 3 ,AD = a,SA\) vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60^o. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A. \(\dfrac{{13\sqrt {13} }}{6}\pi {a^3}\)

B. \(\dfrac{{13\sqrt {13} }}{{24}}\pi {a^3}\)

C. \(\dfrac{{5\sqrt 5 }}{6}\pi {a^3}\)

D. \(\dfrac{{5\sqrt {10} }}{3}\pi {a^3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547239

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Gọi I là trung điểm của SC, chứng minh IA = IB = IC = ID = IS.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SA. Sử dụng định lí Pytago tính AC, SC.

- Tính bán kính \(R = \dfrac{1}{2}SC\).

- Tính thể tích khối cầu bán kính R là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \subset \left( {SBC} \right),\,\,SB \bot BC\\AB \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AB \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SC.

Ta có OI là đường trung bình của tam giác SAC nên OI // SA. Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID\).

Lại có tam giác SAC vuông tại A nên IS = IA = IC.

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

Xét tam giác vuông SAB có: \(SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a\) \( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt {13} \).

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(R = IS = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{6}\pi {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.