Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn \(3f'\left( x \right).{e^{{f^3}\left( x

Câu hỏi số 547240:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn \(3f'\left( x \right).{e^{{f^3}\left( x \right) - {x^2} - 1}} - \dfrac{{2x}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 0\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {x.f\left( x \right)dx} \)bằng

A. \(\dfrac{{15}}{4}\)

B. \(\dfrac{{45}}{8}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt 7 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{5\sqrt 7 }}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547240

Phương pháp giải

- Giải phương trình bằng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm hàm f(x).

- Sau đó dùng tích phân đổi biến để tính tích phân cần tìm

Giải chi tiết

Từ giả thiết suy ra \(3{f^2}\left( x \right).f'\left( x \right).{e^{{f^3}\left( x \right)}} - 2x{e^{{x^2} + 1}} = 0\)

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được \({e^{{f^3}\left( x \right)}} - {e^{{x^2} + 1}} = C\)

Thay \(x = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow {e^{{f^3}\left( x \right)}} = {e^{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\).

Tích phân cần tìm bằng

\(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\sqrt 7 } {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\dfrac{1}{3}}}d\left( {{x^2} + 1} \right)} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\dfrac{4}{3}}}\left| {_0^{\sqrt 7 }} \right. = \dfrac{{45}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.