Cho \(f\left( x \right) = a\ln {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^{2021}} + b{\sin ^3}x + 18\) với \(a,\,\,b

Câu hỏi số 547247:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right) = a\ln {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^{2021}} + b{\sin ^3}x + 18\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}\). Biết rằng \(f\left( {\log \left( {\log e} \right)} \right) = 2\). Giá trị của \(f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right)\) là\(\)

A. 34

B. 2

C. 18

D. 36

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547247

Phương pháp giải

- Chứng minh hai biểu thức loga đối nhau.

- Chứng minh f(x) + f(–x) = 36, với mọi x.

Giải chi tiết

Ta có: \(\log \left( {\log e} \right) + \log \left( {\ln 10} \right) = \log \left( {\log e.\ln 10} \right) = \log 1 = 0 \Rightarrow \log \left( {\ln 10} \right) = - \log \left( {\log e} \right)\)

Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge - x\) nên \(\sqrt {{x^2} + 1} + x > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Khi đó \(f\left( x \right) = a\ln {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^{2021}} = 2021a\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\).

Lại có \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = {x^2} + 1 - {x^2} = 1\) nên \(\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \ln \dfrac{1}{{ - x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = - \ln \left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\)

Với mọi x ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = 2021a\ln \left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + b{\sin ^3}\left( { - x} \right) + 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2021a\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - b{\sin ^3}x + 18\\ \Rightarrow f\left( { - x} \right) + f\left( x \right) = 36\end{array}\)

Mà \(\log \left( {\ln 10} \right) = - \log \left( {\log e} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right) + f\left( {\log \left( {\log e} \right)} \right) = 36 \Rightarrow f\left( {\log \left( {\log e} \right)} \right) = 34\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.