Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\) là

Câu hỏi số 547936:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\) là điểm trên \(AB\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}\). Biết khoảng cách giữa \(SM\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{a}{{\sqrt {13} }}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

D. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547936

Phương pháp giải

- Kẻ MI // BC \(\left( {I \in AC} \right)\), chứng minh BC // (SMI).

- Chứng minh \(d\left( {SM,BC} \right) = d\left( {B,\left( {SMI} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right)\).

- Gọi N, K lần lượt là trung điểm của BC, MI, kẻ \(AH \bot SK\), chứng minh \(d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right) = AH\).

- Đặt SA = x, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tìm x theo a.

- Từ đó tính \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Kẻ \(MI//BC\,\,\left( {I \in AC} \right)\) Suy ra BC // (SMI)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {13} }} = d\left( {SM,BC} \right) = d\left( {B,\left( {SMI} \right)} \right)\).

Mà \(MA = 2MB\) nên \(d\left( {B,\left( {SMI} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right) = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }}\).

Gọi \(N,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,MI\).

Khi đó \(A,\,\,K,\,\,N\) thẳng hàng và \(K\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AK = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Do \(\Delta ABC\) đều nên \(AK \bot MI\).

Mà \(SA \bot MI\) nên \(MI \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow \left( {SMI} \right) \bot \left( {SAK} \right)\)

Kẻ \(AH \bot SK\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {SMI} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right) = AH \Rightarrow AH = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }}\).

Đặt \(SA = x > 0\).

Ta có: \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }} = AH = \dfrac{{SA.AK}}{{\sqrt {S{A^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{{x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} }}\).

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3} = \dfrac{{13}}{3}{x^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = 2a\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.