Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\) là
Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\) là điểm trên \(AB\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}\). Biết khoảng cách giữa \(SM\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{a}{{\sqrt {13} }}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Kẻ MI // BC \(\left( {I \in AC} \right)\), chứng minh BC // (SMI).
- Chứng minh \(d\left( {SM,BC} \right) = d\left( {B,\left( {SMI} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right)\).
- Gọi N, K lần lượt là trung điểm của BC, MI, kẻ \(AH \bot SK\), chứng minh \(d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right) = AH\).
- Đặt SA = x, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tìm x theo a.
- Từ đó tính \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}}\).
Kẻ \(MI//BC\,\,\left( {I \in AC} \right)\) Suy ra BC // (SMI)
\( \Rightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {13} }} = d\left( {SM,BC} \right) = d\left( {B,\left( {SMI} \right)} \right)\).
Mà \(MA = 2MB\) nên \(d\left( {B,\left( {SMI} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right) = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }}\).
Gọi \(N,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,MI\).
Khi đó \(A,\,\,K,\,\,N\) thẳng hàng và \(K\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AK = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Do \(\Delta ABC\) đều nên \(AK \bot MI\).
Mà \(SA \bot MI\) nên \(MI \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow \left( {SMI} \right) \bot \left( {SAK} \right)\)
Kẻ \(AH \bot SK\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {SMI} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMI} \right)} \right) = AH \Rightarrow AH = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }}\).
Đặt \(SA = x > 0\).
Ta có: \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }} = AH = \dfrac{{SA.AK}}{{\sqrt {S{A^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{{x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} }}\).
\( \Leftrightarrow 4{x^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3} = \dfrac{{13}}{3}{x^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = 2a\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
