Cho \(\int\limits_{16}^{55} {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }}} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11\) với a, b, c là

Câu hỏi số 549605:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_{16}^{55} {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }}} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a + b = 3c

B. a – b = - 3c

C. a – b = - c

D. a + b = c

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549605

Phương pháp giải

- Đổi biến \(t = \sqrt {x + 9} \).

- Tính tích phân và tìm a, b, c.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {x + 9} \Rightarrow {t^2} = x + 9 \Rightarrow 2tdt = dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{x} = \dfrac{{2tdt}}{{{t^2} - 9}}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 16 \Rightarrow t = 5\\x = 55 \Rightarrow t = 8\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_5^8 {\dfrac{{2tdt}}{{\left( {{t^2} - 9} \right)t}}} = 2\int\limits_5^8 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 9}}} \\ = 2\int\limits_5^8 {\dfrac{{dt}}{{\left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right)}}} = 2.\dfrac{1}{6}\int\limits_5^8 {\left( {\dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{{t + 3}}} \right)dt} \\ = \dfrac{1}{3}\left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_5^8\\ = \left. {\dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{t - 3}}{{t + 3}}} \right|} \right|_5^8 = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \dfrac{5}{{11}} - \ln \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{3}\ln \dfrac{{20}}{{11}}\\ = \dfrac{1}{3}\ln 20 - \dfrac{1}{3}\ln 11 = \dfrac{2}{3}\ln 2 + \dfrac{1}{3}\ln 5 - \dfrac{1}{3}\ln 11\\ \Rightarrow a = \dfrac{2}{3},\,\,b = \dfrac{1}{3},\,\,c = - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Vậy \(a - b = - c\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.