Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549711:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0,\,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 7\) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\). Tính tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

A. \(4\)

B. \(\dfrac{7}{5}\)

C. \(1\)

D. \(\dfrac{7}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549711

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\dfrac{1}{3} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = - 1\)

Ta có: \(\int\limits_0^1 {49{x^6} = 7} \)

\(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 7\)

\(2.7.\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = - 14\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {7{x^3} + f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 0\)\( \Rightarrow 7{x^3} + f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{{7{x^4}}}{4} + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{7}{4}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{{7{x^4}}}{4} + \dfrac{7}{4}} \right)dx} = \dfrac{7}{5}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.