Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549712:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0,\,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 7\) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{7}{5}\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac{7}{4}\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549712

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{3} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}.f\left( x \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = - 1\)

Ta có: \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 7\)

\(49\int\limits_0^1 {{x^6}dx} = 7\)

\(2.7.\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = - 14\)

Do đó: \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} + \)\(2.7.\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} + 49\int\limits_0^1 {{x^6}dx} = 0\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + 7{x^3}} \right]}^2}dx} = 0\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = - 7{x^3} \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{7}{4}{x^4} + C\)

Với \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow - \dfrac{7}{4}{x^4} + \dfrac{7}{4}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{7}{4}{x^4} + \dfrac{7}{4}} \right)dx} = \left. { - \dfrac{7}{4}\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - x} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{7}{5}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.