Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549715:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4\), \({\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} ^2}dx = 5\) và \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{2}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{15}}{{19}}\)

B. \(\dfrac{{17}}{4}\)

C. \(\dfrac{{17}}{{18}}\)

D. \(\dfrac{{15}}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549715

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{2}{x^2}\end{array} \right.\)

Ta có: \(I = \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \)

\( \Rightarrow - \dfrac{1}{2} = 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = 5\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{x^2}f'\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right)dx} = 0\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\left[ {{x^2} - f'\left( x \right)} \right]dx} = 0\)

\( \Rightarrow {x^2} - f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + C\)

Với \(f\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow C = \dfrac{{11}}{3}\)

Khi đó: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{11}}{3}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{11}}{3}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{1}{{12}}{x^4} + \dfrac{{11}}{3}x} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{{15}}{4}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.