Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549714:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 3,\,\int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 4\) và \(\int\limits_0^2 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{2}{{115}}\)

B. \(\dfrac{{297}}{{115}}\)

C. \(\dfrac{{562}}{{115}}\)

D. \(\dfrac{{266}}{{115}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549714

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Từ giả thiết \(\int\limits_0^2 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {3{x^2}f\left( x \right)dx} = 1\)

Tính \(I = \int\limits_0^2 {3{x^2}f\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = 3{x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = {x^3}\end{array} \right.\)

Ta có: \(I = \int\limits_0^2 {3{x^2}f\left( x \right)dx} = \left. {{x^3}f\left( x \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = 24 - \int\limits_0^2 {{x^3}f'\left( x \right)dx} \) ( vì \(f\left( 2 \right) = 3\))

Mà \(I = \int\limits_0^2 {3{x^2}f\left( x \right)dx} = 1 \Rightarrow 1 = 24 - \int\limits_0^2 {{x^3}f'\left( x \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = 23 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{23}}\int\limits_0^2 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = 4\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{23}}\int\limits_0^2 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left[ {\dfrac{4}{{23}}{x^3}.f'\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right]dx} = 0\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f'\left( x \right)\left[ {\dfrac{4}{{23}}{x^3} - f'\left( x \right)} \right]dx} = 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{4}{{23}}{x^3} - f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{4}{{23}}{x^3} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{{23}}{x^4} + C\)

Với \(f\left( 2 \right) = 3 \Rightarrow 3 = \dfrac{{16}}{{23}} + C \Rightarrow C = \dfrac{{53}}{{23}}\)

Khi đó: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{23}}{x^4} + \dfrac{{53}}{{23}}\)

Vậy \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {\dfrac{1}{{23}}{x^4} + \dfrac{{53}}{{23}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{1}{{115}}{x^5} + \dfrac{{53}}{{23}}x} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{562}}{{115}}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.