Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549716:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 6,\,\int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 7\) và \(\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{{17}}{2}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(8\)

B. \(6\)

C. \(7\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549716

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{2}{x^2}\end{array} \right.\)

Ta có: \(I = \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = 12 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) (vì \(f\left( 2 \right) = 6\))

\( \Rightarrow \dfrac{{17}}{2} = 12 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = 7\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left( {{x^2}f'\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right)dx} = 0\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f'\left( x \right)\left[ {{x^2} - f'\left( x \right)} \right]dx} = 0\)

\( \Rightarrow {x^2} - f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + C\)

Với \(f\left( 2 \right) = 6 \Rightarrow C = \dfrac{{10}}{3}\)

Khi đó: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{10}}{3}\)

Vậy \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{10}}{3}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{1}{{12}}{x^4} + \dfrac{{10}}{3}x} \right)} \right|_0^2 = 8\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.