Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;3} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 549717:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;3} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 3 \right) = 6,\,\int\limits_0^3 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 2\) và \(\int\limits_0^3 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \dfrac{{154}}{3}\). Tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{53}}{5}\)

B. \(\dfrac{{117}}{{20}}\)

C. \(\dfrac{{153}}{5}\)

D. \(\dfrac{{13}}{5}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549717

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_0^3 {{x^2}f\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.\)

Ta có: \(I = \left. {\dfrac{1}{3}{x^3}f\left( x \right)} \right|_0^3 - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^3 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = 54 - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^3 {{x^3}f'\left( x \right)dx} \) (vì \(f\left( 3 \right) = 6\))

Theo giả thiết: \(\int\limits_0^3 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = \dfrac{{154}}{3} \Rightarrow \dfrac{{154}}{3} = 54 - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^3 {{x^3}f'\left( x \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = 8 \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {{x^3}f'\left( x \right)dx = 4\int\limits_0^3 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {\left( {{x^3}f'\left( x \right) - 4{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right)dx} = 0} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f'\left( x \right)\left[ {{x^3} - 4f'\left( x \right)} \right]dx} = 0\)

\( \Rightarrow {x^3} - 4f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{4} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{{16}} + C\)

Với \(f\left( 3 \right) = 6 \Rightarrow C = \dfrac{{15}}{{16}}\)

Khi đó: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{{16}} + \dfrac{{15}}{{16}}\)

Vậy \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {\dfrac{1}{{16}}{x^4} + \dfrac{{15}}{{16}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{1}{{80}}{x^5} + \dfrac{{15}}{{16}}x} \right)} \right|_0^3 = \dfrac{{117}}{{20}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.