Trên sân bay một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt

Câu hỏi số 551150:

Vận dụng

Trên sân bay một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng d cách vị trí máy bay cất cánh O một khoảng 300 (m) về phía bên phải có 1 người quan sát A. Biết máy bay chuyền động trong mặt phẳng (P) và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình \(y = {x^2}\) (với x là độ dài của máy bay dọc theo đường thẳng d và tính từ O). Tính khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551150

Phương pháp giải

Xét hệ trục tọa độ Oxy với tọa độ O là vị trí máy bay rời mặt đất, trục Ox trùng đường thẳng d và chiều dương hướng sang phải, trục Oy vuông góc với mặt đất.

Xác định tọa độ A của người, tọa độ B của máy bay theo ẩn t.

Tính độ dài AB.

Sử dụng phương hàm số để tìm GTNN.

Giải chi tiết

Gọi \(B\left( {t;{t^2}} \right)\) \(\left( {t \ge 0} \right)\) là tọa độ của máy bay trong hệ tọa độ Oxy.

Gọi \(A\left( {3;0} \right)\) là tọa độ của người A.

Khoảng cách giữa người A và máy bay B là: \(AB = \sqrt {{{\left( {3 - t} \right)}^2} + {t^4}} \).

\( \Rightarrow A{B^2} = {\left( {3 - t} \right)^2} + {t^4} = {t^4} + {t^2} - 6t + 9\).

Đặt \(f\left( t \right) = {t^4} + {t^2} - 6t + 9\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = 4{t^3} + 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Lập BBT \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 5 \Leftrightarrow t = 1\).

\( \Rightarrow A{B_{\min }} = \sqrt {{2^2} + {1^4}} = \sqrt 5 \).

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là \(100\sqrt 5 \,\,\left( m \right)\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.