Cho hình chóp S.ABCD có \(SC \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng \(a\sqrt 3 \)

Câu hỏi số 551149:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có \(SC \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) và \(\angle ABC = {120^0}\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng \({45^0}\). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551149

Phương pháp giải

- Gọi M là trung điểm của AB, trong (ABCD) kẻ \(CH//DM\,\,\left( {H \in AB} \right)\). Xác định góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến).

- Tính chiều cao SC.

- Tính thể tích.

- Gọi \(O = AC \cap BD\). Trong (SAC) lẻ \(CK \bot SO\) \(\left( {K \in SO} \right)\), chứng minh \(CK \bot \left( {SBD} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

a) Tam giác ABD có AD = AB, \(\angle BAD = {60^0}\) nên là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 3 \). Gọi M là trung điểm của AB suy ra \(DM \bot AB\) và \(DM = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{3}{2}a\).

Trong (ABCD) kẻ \(CH//DM\,\,\left( {H \in AB} \right)\) \( \Rightarrow CH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot CH\\AB \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCH} \right) \Rightarrow AB \bot SH\).

Xét (SAB) và (ABCD) có giao tuyến AB, \(SH \bot AB,\,\,CH \bot AB\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SH,CH} \right) = \angle SHC = {45^0}\).

Do đó tam giác SHC vuông cân tại C nên \(SC = HC = DM = \dfrac{3}{2}a\).

Ta có \({S_{\Delta ABD}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{a^2}\) nên \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABD}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SC.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}a.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{a^3}\).

b) Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\), lại có \(BD \bot SC\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong (SAC) lẻ \(CK \bot SO\) \(\left( {K \in SO} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CK \bot SO\\CK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow CK \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = CK\).

Tam giác ABD đều cạnh \(a\sqrt 3 \) nên \(AO = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{3}{2}a = CO = SC\).

Do đó tam giác SCO vuông cân tại C nên \(\angle COK = {45^0}\) \( \Rightarrow CK = CO.\sin {45^0} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}a\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.