Một khối nón có bán kính đáy bằng \(2cm\), chiều cao bằng \(\sqrt 3 cm\). Một mặt phẳng đi qua

Câu hỏi số 552254:

Vận dụng

Một khối nón có bán kính đáy bằng \(2cm\), chiều cao bằng \(\sqrt 3 cm\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc \({60^0}\) chia khối nón làm 2 phần. Tính thể tích phần nhỏ hơn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. \(1,42c{m^3}\).

B. \(1,53c{m^3}\).

C. \(2,36c{m^3}\).

D. \(2,47c{m^3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552254

Phương pháp giải

- Dựng mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc \({60^0}\).

- Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\). Tìm góc giữa (SMN) và đáy.

- Tính OI, IN.

- Tính \({S_{OMN}}\).

- Tính \({S_{qOMN}} = \dfrac{{\pi {R^2}.n}}{{360}}\), với n là số đo góc MON.

- Tính diện tích S của hình viên phân OMN.

- Tính thể tích phần nhỏ: \(V = \dfrac{1}{3}SO.S\).

Giải chi tiết

Xét hình nón như trong hình.

Gọi mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc \({60^0}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\). Khi đó \(SI \bot MN\).

Mà \(OI \bot MN\) do đó \(\left( {SOI} \right) \bot MN \Rightarrow \left( {SOI} \right) \bot \left( {SMN} \right)\).

Khi đó \(\left( {\left( {SOI} \right),\left( {SMN} \right)} \right) = \angle SIO = {60^0}\).

Ta có: \(OI = \dfrac{{SO}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 1\).

\( \Rightarrow IN = \sqrt {O{N^2} - O{I^2}} = \sqrt {4 - 1} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {S_{OMN}} = IN.OI = \sqrt 3 \)

Ta có: \(\tan \angle ION = \dfrac{{IN}}{{OI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle ION = {60^0}\).

Hơn nữa: \(\angle MON = 2\angle ION = {2.60^0} = {120^0}\).

Khi đó \({S_{q.OMN}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{1}{3}\pi .4 = \dfrac{4}{3}\pi \).

Gọi \(S\) là diện tích hình viên phân tạo bởi cung \(MN\) nhỏ và dây cung \(MN\) \( \Rightarrow S = \dfrac{4}{3}\pi - \sqrt 3 \).

Thể tích phần nhỏ hơn là \(V = \dfrac{1}{3}Sh = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{4}{3}\pi - \sqrt 3 } \right).\sqrt 3 \approx 1,42c{m^3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.