Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\,\,SB = a\sqrt 2 \), hai mặt phẳng \(\left( {SAB}

Câu hỏi số 552257:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\,\,SB = a\sqrt 2 \), hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SBC} \right)\) vuông góc với nhau. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({45^0}\), góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\alpha ,\,\,0 < \alpha < {90^0}\). Thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

D. \({a^3}\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552257

Phương pháp giải

- Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

- Xác định góc giữa SC và (SAB).

- Xác định góc giữa SB và (ABC).

- Sử dụng ti số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SA, AB.

- Tính thể tích.

Giải chi tiết

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right),\,\,\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle CSB = \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = {45^0}\\BC \bot SB\\BC \bot AB\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó \(\Delta SBC\) vuông cân tại \(B\), \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow SB = BC = a\sqrt 2 \).

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên AB là hình chiếu vuông góc với SB lên (ABC) \( \Rightarrow \left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \angle SBA = \alpha \).

Xét \(\Delta SAB\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = SB\cos \alpha = a\sqrt 2 \cos \alpha \\SA = SB\sin \alpha = a\sqrt 2 \sin \alpha \end{array} \right.\)

Ta có: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{6}a\sqrt 2 \sin \alpha .a\sqrt 2 \cos \alpha .a\sqrt 2 \le \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \alpha = {45^0}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.