Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương và thỏa mãn \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt y }} = \dfrac{{y + 1}}{x}\).

Câu hỏi số 552273:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương và thỏa mãn \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt y }} = \dfrac{{y + 1}}{x}\). Giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(P = \dfrac{{y + 4}}{x}\) là

A. \(m = 4\)

B. \(m = 8\)

C. \(m = 3\)

D. \(m = 2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552273

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng tìm được quan hệ giữa \(x,\,\,y\) từ đó tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(P = \dfrac{{y + 4}}{x}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt y }} = \dfrac{{y + 1}}{x}\) \( \Rightarrow {x^3} + x = y\sqrt y + \sqrt y \Leftrightarrow {x^3} + x = {\left( {\sqrt y } \right)^3} + \sqrt y \).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) với \(t > 0\) ta có: \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\).

Khi đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( x \right) = f\left( {\sqrt y } \right)\) nên \(x = \sqrt y \).

Khi đó ta được: \(P = \dfrac{{y + 4}}{x} = \dfrac{{y + 4}}{{\sqrt y }} = \sqrt y + \dfrac{4}{{\sqrt y }} \ge 2\sqrt {\sqrt y .\dfrac{4}{{\sqrt y }}} = 4 = m\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt y = \dfrac{4}{{\sqrt y }} \Leftrightarrow y = 4\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.