Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1} + 7}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\,\,\,\left(

Câu hỏi số 553149:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1} + 7}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\,\,\,\left( {a,b,c \in {\bf{Q}}} \right)\). Tính \(a + b + c\)?

A. \( - \dfrac{{10}}{3}\)

B. \(\dfrac{5}{3}\)

C. \(\dfrac{{10}}{3}\)

D. \( - \dfrac{5}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553149

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt {3x + 1} = t \Rightarrow 3x + 1 = {t^2} \Rightarrow dx = \dfrac{2}{3}tdt\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1} + 7}}} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\dfrac{2}{3}tdt}}{{{t^2} + 5t + 6}}} = \dfrac{2}{3}\int\limits_1^2 {\dfrac{{tdt}}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}}} \)

Ta có: \(\dfrac{t}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}} = \dfrac{A}{{t + 2}} + \dfrac{B}{{t + 3}} = \dfrac{{\left( {A + B} \right)t + \left( {3A + 2B} \right)}}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A + B = 1\\3A + 2B = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - 2\\B = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}\int\limits_1^2 {\dfrac{{tdt}}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}}} = \dfrac{2}{3}.\int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{{ - 2}}{{t + 2}} + \dfrac{3}{{t + 3}}} \right)dt} = \left. {\dfrac{2}{3}.\left( { - 2\ln \left| {t + 2} \right| + 3\ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_1^2\)

\( = \dfrac{2}{3}.\left[ {\left( { - 4\ln 2 + 3\ln 5} \right) - \left( { - 2\ln 3 + 6\ln 2} \right)} \right] = \dfrac{2}{3}.\left( { - 10\ln 2 + 2\ln 3 + 3\ln 5} \right)\)

\( = \dfrac{{ - 20}}{3}\ln 2 + \dfrac{4}{3}\ln 3 + 2\ln 5\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{{20}}{3}\\b = \dfrac{4}{3}\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{ - 20}}{3} + \dfrac{4}{3} + 2 = \dfrac{{ - 10}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.