Cho \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} = a\ln 3 + b\ln 2 +

Câu hỏi số 553148:

Thông hiểu

Cho \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} = a\ln 3 + b\ln 2 + \dfrac{c}{3}\) với \(a,b,c \in {\bf{Z}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 6\)

B. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 9\)

C. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 11\)

D. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553148

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\ln x + 2 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}dx = dt\\\ln x = t - 2\end{array} \right.\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = e \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\)

Khi đó: \(I = \int\limits_2^3 {\dfrac{{\left( {t - 2} \right)dt}}{{{t^2}}}} = \int\limits_2^3 {\left( {\dfrac{1}{t} - \dfrac{2}{{{t^2}}}} \right)dt} = \left. {\left( {\ln \left| t \right| + \dfrac{2}{3}} \right)} \right|_2^3 = \left( {\ln 3 + \dfrac{2}{3}} \right) - \left( {\ln 2 + 1} \right) = \ln 3 - \ln 2 - \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = - 1\end{array} \right.\,\, \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = {1^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.