Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1} \right|\) và \(\left( {z + 2}

Câu hỏi số 553559:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1} \right|\) và \(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z - i} \right)\) là số thực. Môđun của \(z\) bằng

A. \(2\sqrt 2 \).

B. \(2\).

C. \(2\sqrt 3 \).

D. \(\sqrt {13} \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553559

Phương pháp giải

Gọi số phức \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}\). Giải hệ điều kiện của đề từ đó tính được \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Giải chi tiết

Gọi số phức \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(\left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1} \right|\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {a - 3 + bi} \right| = \left| {a - 1 + bi} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow - 6a + 9 = - 2a + 1\\ \Leftrightarrow a = 2\end{array}\)

Lại có

\(\begin{array}{l}\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z - i} \right)\\ = \left( {2 + 2 + bi} \right)\left( {2 - \left( {b + 1} \right)i} \right)\\ = \left( {4 + bi} \right)\left( {2 - \left( {b + 1} \right)i} \right)\\ = 8 + b\left( {b + 1} \right) + \left( {2b - 4\left( {b + 1} \right)} \right)i\end{array}\).

Mà \(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z - i} \right)\) là số thực nên \(2b - 4\left( {b + 1} \right) = 0 \Rightarrow b = - 2\).

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.