Cho \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{x - 2}}{x}\ln xdx} = a + b\ln 2 + c{\ln ^2}2\), với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\).

Câu hỏi số 554489:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{x - 2}}{x}\ln xdx} = a + b\ln 2 + c{\ln ^2}2\), với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của biểu thức S = a + 2b – 3c.

A. \(S = \dfrac{9}{2}\)

B. S = 6

C. S = 2

D. S = 0

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554489

Phương pháp giải

- Phân tích \(\dfrac{{x - 2}}{x} = 1 - \dfrac{2}{x}\).

- Tách thành tổng 2 tích phân.

- Sử dụng tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \), phương pháp đưa biến vào vi phân: \(\dfrac{1}{x}dx = d\left( {\ln x} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{x - 2}}{x}\ln xdx} = \int\limits_1^2 {\left( {1 - \dfrac{2}{x}} \right)\ln xdx} \) \( = \int\limits_1^2 {\ln xdx} - 2\int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln x}}{x}dx} \) \( = {I_1} - 2{I_2}\).

Xét \({I_1} = \int\limits_1^2 {\ln xdx} = \left. {x\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {x\dfrac{1}{x}dx} \)\( = 2\ln 2 - \int\limits_1^2 {dx} = 2\ln 2 - 1\).

Xét \({I_2} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln x}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\ln xd\left( {\ln x} \right)} \)\( = \left. {\dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2}} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2}{\ln ^2}2\)

\( \Rightarrow I = 2\ln 2 - 1 - {\ln ^2}2\).

Vậy a = -1, b = 2, c = -1 nên S = -1 + 2.2 – 3(-1) = 6.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.