Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x + 2 + 3y} = 3\sqrt y + \sqrt {x + 2}

Câu hỏi số 555042:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x + 2 + 3y} = 3\sqrt y + \sqrt {x + 2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{y^2} + {x^2} + 2x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

A. \(S = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( { - 2;0} \right)} \right\}\)

B. \(S = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;0} \right)} \right\}\)

C. \(S = \left\{ {\left( {1; - 1} \right);\left( {2;0} \right)} \right\}\)

D. \(S = \left\{ {\left( { - 1;1} \right);\left( { - 2;0} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:555042

Phương pháp giải

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Biến đổi phương trình (1), tìm được mối quan hệ của \(x,y\)

Thay vào phương trình (2) để tìm nghiệm của hệ phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 + 3y \ge 0\\y \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right.\)

Xét phương trình (1) có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,2\sqrt {x + 2 + 3y} = 3\sqrt y + \sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow 4\left( {x + 2 + 3y} \right) = 9y + x + 2 + 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} \\ \Leftrightarrow 4x + 8 + 12y - 9y - x - 2 - 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 6 + 3y - 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right) = 0} \\ \Leftrightarrow 3\left( {x + 2} \right) + 3y - 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right) + y - 2\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 2} } \right)^2} - 2\sqrt {\left( {x + 2} \right).y} + {\left( {\sqrt y } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt y } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} - \sqrt y = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = \sqrt y \\ \Leftrightarrow x + 2 = y\end{array}\)

Với \(y = x + 2\), thay vào phương trình (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + {x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x + 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
+ Với \(x = - 1 \Rightarrow y = 1\) thỏa mãn.

+ Với \(x = - 2 \Rightarrow y = 0\) thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm tập nghiệm là \(S = \left\{ {\left( { - 1;1} \right);\left( { - 2;0} \right)} \right\}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.