Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 555448:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(AB = \sqrt 5 \), \(AD = \sqrt 2 \), \(SA = \sqrt 3 \). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\), \(SD\) và \(P\) là điểm nằm trên cạnh \(SC\) sao cho \(2SP = 3PC\). Thể tích của khối đa diện \(ACMPN\) là

A. \(\dfrac{{41\sqrt {30} }}{{400}}\).

B. \(\dfrac{{13\sqrt {30} }}{{200}}\).

C. \(\dfrac{{39\sqrt {30} }}{{200}}\).

D. \(\dfrac{{41\sqrt {30} }}{{200}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555448

Phương pháp giải

- Tính tỉ số diện tích đáy, từ đó tính tỉ số thể tích.

- Phân tích \({V_{ACMPN}} = {V_{A.CNP}} + {V_{A.CNP}}\).

Giải chi tiết

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB có: \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \dfrac{3}{{3 + 5}} = \dfrac{3}{8}\).

Ta có: \(\dfrac{{{S_{CMP}}}}{{{S_{CMS}}}} = \dfrac{{CP}}{{CS}} = \dfrac{2}{5},\,\,\dfrac{{{S_{CMS}}}}{{{S_{CBS}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{3}{8}\) \( \Rightarrow \dfrac{{{S_{CMP}}}}{{{S_{CBS}}}} = \dfrac{2}{5}.\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{{20}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{A.CMP}}}}{{{V_{A.SBC}}}} = \dfrac{{{S_{CMP}}}}{{{S_{SBC}}}} = \dfrac{3}{{20}}\\ \Rightarrow {V_{A.CMP}} = \dfrac{3}{{20}}{V_{A.SBC}} = \dfrac{3}{{20}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{3}{{40}}{V_{S.ABCD}}\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \({V_{A.CNP}} = \dfrac{3}{{25}}{V_{S.ABCD}}\).

\( \Rightarrow {V_{ACMPN}} = {V_{A.CNP}} + {V_{A.CNP}} = \dfrac{{39}}{{200}}{V_{S.ABCD}}\).

Ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.AB.AD = \dfrac{1}{3}.\sqrt 3 .\sqrt 5 .\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt {30} }}{3}\).

Vậy \({V_{ACMPN}} = \dfrac{{39}}{{200}}.\dfrac{{\sqrt {30} }}{3} = \dfrac{{13\sqrt {30} }}{{200}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.