Biết tích phân \(I = \int\limits_1^{10} {\dfrac{{\log x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = a + b\log 2 +

Câu hỏi số 555449:

Vận dụng

Biết tích phân \(I = \int\limits_1^{10} {\dfrac{{\log x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = a + b\log 2 + c\log 11\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = 11a + 2b + 3c\).

A. \(11\).

B. \(9\).

C. \( - 9\).

D. \( - 11\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555449

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \log x\\dv = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x\ln 10}}dx\\v = - \dfrac{1}{{x + 1}}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^{10} {\dfrac{{\log x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \left. { - \dfrac{1}{{x + 1}}\log x} \right|_1^{10} + \dfrac{1}{{\ln 10}}\int\limits_1^{10} {\dfrac{{dx}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{\ln 10}}\int\limits_1^{10} {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{{11}} + \left. {\dfrac{1}{{\ln 10}}\left( {\ln x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_1^{10}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{\ln 10}}\left( {\ln 10 - \ln 11 + \ln 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{10}}{{11}} + \log 2 - \log 11\end{array}\)

Vậy \(a = \dfrac{{10}}{{11}};\,\,b = 1,\,\,c = - 1\) nên \(S = 11.\dfrac{{10}}{{11}} + 2.1 + 3.\left( { - 1} \right) = 9\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.