Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình \(\left| {6 - 3i + iz} \right| = \left| {2z - 6 - 9i} \right|\)

Câu hỏi số 555447:

Vận dụng

Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình \(\left| {6 - 3i + iz} \right| = \left| {2z - 6 - 9i} \right|\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \dfrac{8}{5}\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) là

A. \(5\)

B. \(\dfrac{{56}}{5}\).

C. \(\dfrac{{31}}{5}\).

D. \(4\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555447

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {6 - 3i + iz} \right| = \left| {2z - 6 - 9i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {6 - 3i + i\left( {x + yi} \right)} \right| = \left| {2\left( {x + yi} \right) - 6 - 9i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {6 - y + \left( {x - 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {2x - 6} \right) + \left( {2y - 9} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {6 - y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} = {\left( {2x - 6} \right)^2} + {\left( {2y - 9} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {6 - y} \right)^2} = 3{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {2y - 9} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 36 = 3{x^2} - 18x + 27 + 4{y^2} - 36y + 81\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} - 18x - 24y + 72 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 24 = 0\end{array}\)

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3;4), bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + {4^2} - 24} = 1\).

Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\).

Vì \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \dfrac{8}{5}\) nên \(AB = \dfrac{8}{5}\).

Ta có: \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\), với M là trung điểm của AB.

Ta có \(IM = \sqrt {I{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^2}} = \dfrac{3}{5}\) (định lí Pytago) nên điểm M thuộc \(\left( {I;\dfrac{3}{5}} \right)\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \left| {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IM} } \right| \le \left| {\overrightarrow {OI} } \right| + \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = 5 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{{28}}{5}\).

Vậy \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \dfrac{{56}}{5}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.