Cho \({\log _9}5 = a,\,\,{\log _4}7 = b\) và \({\log _2}3 = c\). Biết \({\log _{24}}175 = \dfrac{{mb + nac}}{{pc +

Câu hỏi số 555452:

Vận dụng

Cho \({\log _9}5 = a,\,\,{\log _4}7 = b\) và \({\log _2}3 = c\). Biết \({\log _{24}}175 = \dfrac{{mb + nac}}{{pc + q}}.\) với \(m,\,n,\,p,q \in \mathbb{Z}\) và \(q\) là số nguyên tố. Tính \(A = mnpq.\)

A. \(42\).

B. \(24\).

C. \(8\).

D. \(12\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555452

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức:

\({\log _a}\left( {{x^m}{y^n}} \right) = m{\log _a}x + n{\log _a}y\) \(\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\).

\(\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a\) \(\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\).

\({\log _{{a^m}}}b = \dfrac{1}{m}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\)

\({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\,\,\left( {0 < a,b \ne 1,\,\,c > 0} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{24}}175 = {\log _{24}}\left( {{5^2}.7} \right) = 2{\log _{24}}5 + {\log _{24}}7\\ = \dfrac{2}{{{{\log }_5}24}} + \dfrac{1}{{{{\log }_7}24}} = \dfrac{2}{{{{\log }_5}\left( {{2^3}.3} \right)}} + \dfrac{1}{{{{\log }_7}\left( {{2^3}.3} \right)}}\\ = \dfrac{2}{{3{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}} + \dfrac{1}{{3{{\log }_7}2 + {{\log }_7}3}}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _9}5 = a \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _3}5 = a \Leftrightarrow {\log _3}5 = 2a\\{\log _4}7 = b \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}7 = b \Leftrightarrow {\log _2}7 = 2b\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _7}3 = {\log _7}2.{\log _2}3 = \dfrac{c}{{2b}}\\{\log _5}2 = {\log _5}3.{\log _3}2 = \dfrac{1}{{2ac}}\end{array} \right.\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{\log _{24}}175 = \dfrac{2}{{3{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}} + \dfrac{1}{{3{{\log }_7}2 + {{\log }_7}3}}\\ = \dfrac{2}{{\dfrac{3}{{2ac}} + \dfrac{1}{{2a}}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{{2b}} + \dfrac{c}{{2b}}}} = \dfrac{{4ac}}{{c + 3}} + \dfrac{{2b}}{{c + 3}} = \dfrac{{2b + 4ac}}{{c + 3}}\end{array}\)

\( \Rightarrow m = 2,\,\,n = 4,\,\,p = 1,\,\,q = 3\).

Vậy \(A = mnpq = 2.4.1.3 = 24\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.