Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có độ dài đường chéo bằng \(a\sqrt 2 \) và

Câu hỏi số 555451:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có độ dài đường chéo bằng \(a\sqrt 2 \) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\). Nếu \(\tan \alpha = \sqrt 2 \) thì góc giữa \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng

A. \(90^\circ \).

B. \(45^\circ \).

C. \(60^\circ \).

D. \(30^\circ \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555451

Phương pháp giải

- Gọi \(O = AC \cap BD\), chứng minh \(\left( {\left( {SBD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AO,SO} \right) = \angle SOA = \alpha \).

- Kẻ \(AH \bot SB,\,\,SK \bot SC\). Chứng minh \(\left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {AK,HK} \right)\).

- Tính SA, AO.

- Sử dụng HTL trong tam giác vuông tính AH, AK.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính góc AKH.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow BD \bot SO\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SO \bot BD\\AO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AO,SO} \right) = \angle SOA = \alpha \).

Kẻ \(AH \bot SB,\,\,SK \bot SC\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC\\AK \bot SC\\HK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {AK,HK} \right)\)

Ta có: \(AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow SA = AO.\tan \alpha = a\), \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AB = a\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\\\,\,\,\,\,\,\,AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot HK\) nên tam giác AHK vuông tại H.

\( \Rightarrow \left( {AK,KH} \right) = \angle AKH\) và \(\sin \angle AKH = \dfrac{{AH}}{{AK}} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}:\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \angle AKH = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.