Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) tiếp xúc ngoài tại \(A\,\,\left(

Câu hỏi số 555546:

Vận dụng

Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) tiếp xúc ngoài tại \(A\,\,\left( {R > r} \right)\). Gọi \(BC\) là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với \(B \in \left( O \right)\) và \(C \in \left( {O'} \right)\)). Tiếp tuyến chung tại \(A\) của hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại \(M\).

a) Chứng minh \(OM\) vuông góc với \(O'M\).

b) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AB\) với \(OM\) và \(F\) là giao điểm của \(AC\) với \(O'M\). Chứng minh tứ giác \(OEFO'\) nội tiếp một đường tròn.

c) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(OEFO'\), \(K\) là trung điểm của đoạn \(AM\). Chứng minh \(OO' = 2IK\).

Xem lời giải

Câu hỏi:555546

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn.

b) Vận dụng dấu hiệu: Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(OO'\).

Ta sẽ chứng minh: \(MN//IK\),\(MK//IN\)\( \Rightarrow MNIK\) là hình bình hành (dhnb) \( \Rightarrow MN = IK\) (tính chất hình bình hành).

Mà \(OO' = 2MN\)

Vậy \(OO' = 2IK\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(OM\) vuông góc với \(O'M\).

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại có:

\(MO\) là tia phân giác của \(\angle AMB\) \( \Rightarrow \angle OMA = \dfrac{1}{2}\angle AMB\).

\(MO'\) là tia phân giác của \(\angle AMC\) \( \Rightarrow \angle O'MA = \dfrac{1}{2}\angle AMC\).

\( \Rightarrow \angle OMO' = \angle OAM + \angle O'MA = \dfrac{1}{2}\left( {AMB + \angle AMC} \right) = \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\).

Vậy \(OM \bot O'M\).

b) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AB\) với \(OM\) và \(F\) là giao điểm của \(AC\) với \(O'M\). Chứng minh tứ giác \(OEFO'\) nội tiếp một đường tròn.

Ta có: \(MA = MB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của \(AB\).

\(OA = OB\,\,\left( { = R} \right)\) \( \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(AB\)

\( \Rightarrow OM \bot AB\) tại \(E\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(O'M \bot AC\) tại \(F\).

Xét tứ giác \(AEMF\) có: \(\angle AEM = \angle AFM = \angle EMF = {90^0}\) \( \Rightarrow AEMF\) là hình chữ nhật (dhnb).

\( \Rightarrow AEMF\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle MFE = \angle MAE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(ME\)).

Mà \(\angle MAE = \angle MOA\) (cùng phụ với \(\angle OAE\)) \( \Rightarrow \angle MFE = \angle MOA\).

\( \Rightarrow OEFO'\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

c) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(OEFO'\), \(K\) là trung điểm của đoạn \(AM\). Chứng minh \(OO' = 2IK\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(OO'\).

Vì \(\Delta OMO'\) vuông tại \(M\,\,\left( {\angle OMO = {{90}^0}} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(MN = \dfrac{1}{2}OO' \Rightarrow OO' = 2MN\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền).

Vì \(OM,\,\,O'M\) lần lượt là trung trực của \(AB,\,\,AC\) nên \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\).

\( \Rightarrow EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow EF = \dfrac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Lại có \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(OBCO'\) nên \(MN//OB//O'C\) \( \Rightarrow MN \bot BC\,\,\left( {do\,\,OB \bot BC} \right)\)

Mà \(EF//BC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MN \bot EF\) (từ vuông góc đến song song).

Vì \(K\) là trung điểm của \(AM\), mà \(AEMF\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow K\) cũng là trung điểm của \(EF\).

\( \Rightarrow IK \bot EF\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow MN//IK\) (từ vuông góc đến song song). (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MK \bot OO'\,\,\left( {do\,\,MA \bot OO'} \right)\\IN \bot OO'\end{array} \right. \Rightarrow MK//IN\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MNIK\) là hình bình hành (dhnb) \( \Rightarrow MN = IK\) (tính chất hình bình hành).

Mà \(OO' = 2MN\,\,\left( {cmt} \right)\)

Vậy \(OO' = 2IK\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.