Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho hai đường tròn (O;R)(O;R) và (O′;r) tiếp xúc ngoài tại \(A\,\,\left(
Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;r) tiếp xúc ngoài tại A(R>r). Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với B∈(O) và C∈(O′)). Tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn (O) và (O′) cắt đoạn thẳng BC tại M.
a) Chứng minh OM vuông góc với O′M.
b) Gọi E là giao điểm của AB với OM và F là giao điểm của AC với O′M. Chứng minh tứ giác OEFO′ nội tiếp một đường tròn.
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO′, K là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh OO′=2IK.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn.
b) Vận dụng dấu hiệu: Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi N là trung điểm của OO′.
Ta sẽ chứng minh: MN//IK,MK//IN⇒MNIK là hình bình hành (dhnb) ⇒MN=IK (tính chất hình bình hành).
Mà OO′=2MN
Vậy OO′=2IK(dpcm)
a) Chứng minh OM vuông góc với O′M.
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại có:
MO là tia phân giác của ∠AMB ⇒∠OMA=12∠AMB.
MO′ là tia phân giác của ∠AMC ⇒∠O′MA=12∠AMC.
⇒∠OMO′=∠OAM+∠O′MA=12(AMB+∠AMC)=12.1800=900.
Vậy OM⊥O′M.
b) Gọi E là giao điểm của AB với OM và F là giao điểm của AC với O′M. Chứng minh tứ giác OEFO′ nội tiếp một đường tròn.
Ta có: MA=MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ⇒M thuộc trung trực của AB.
OA=OB(=R) ⇒O thuộc trung trực của AB.
⇒OM là trung trực của AB
⇒OM⊥AB tại E.
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có O′M⊥AC tại F.
Xét tứ giác AEMF có: ∠AEM=∠AFM=∠EMF=900 ⇒AEMF là hình chữ nhật (dhnb).
⇒AEMF là tứ giác nội tiếp.
⇒∠MFE=∠MAE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ME).
Mà ∠MAE=∠MOA (cùng phụ với ∠OAE) ⇒∠MFE=∠MOA.
⇒OEFO′ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO′, K là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh OO′=2IK.
Gọi N là trung điểm của OO′.
Vì ΔOMO′ vuông tại M(∠OMO=900)(cmt) nên MN=12OO′⇒OO′=2MN (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền).
Vì OM,O′M lần lượt là trung trực của AB,AC nên E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC.
⇒EF là đường trung bình của ΔABC (định nghĩa)
⇒EF=12BC (tính chất đường trung bình của tam giác).
Lại có MN là đường trung bình của hình thang OBCO′ nên MN//OB//O′C ⇒MN⊥BC(doOB⊥BC)
Mà EF//BC(cmt)⇒MN⊥EF (từ vuông góc đến song song).
Vì K là trung điểm của AM, mà AEMF là hình chữ nhật (cmt) ⇒K cũng là trung điểm của EF.
⇒IK⊥EF (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
⇒MN//IK (từ vuông góc đến song song). (1)
Ta có: {MK⊥OO′(doMA⊥OO′)IN⊥OO′⇒MK//IN (2)
Từ (1) và (2) ⇒MNIK là hình bình hành (dhnb) ⇒MN=IK (tính chất hình bình hành).
Mà OO′=2MN(cmt)
Vậy OO′=2IK(dpcm)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
