Các ăng ten parabol thu sóng hoạt động dựa theo nguyên lý: mọi tia sóng song song với trục của

Câu hỏi số 555547:

Vận dụng cao

Các ăng ten parabol thu sóng hoạt động dựa theo nguyên lý: mọi tia sóng song song với trục của parabol đều có tia phản xạ đi qua tiêu điểm \(F\) của parabol (vì vậy nếu ta đặt thiết bị thu sóng tại \(F\) thì sẽ thu sóng được tốt nhất). Người ta chứng minh được rằng: Nếu đường thẳng vuông góc với trục của parabol tại \(F\) cắt parabol tại 2 điểm \(A,B\) thì \(OF = \dfrac{1}{4}AB\) với \(O\) là đỉnh của parabol (tham khảo hình vẽ).

Tính độ dài đoạn \(OF\)ứng với mô hình trên của một ăng ten parabol (ngang 90cm và cao 9 cm).

A. \(OF = 53,48cm\)

B. \(OF = 56,25cm\)

C. \(OF = 58.12cm\)

D. \(OF = 54,56\left( {cm} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:555547

Phương pháp giải

Ta gắn trục tọa độ của parabol và các điểm M, N vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) với \(Oy\) là tia \(OF\) và \(Ox\) là tia thuộc đường thẳng vuông góc với \(OF\) tại \(O\) để giải bài toán.

Giải chi tiết

Ta gắn trục tọa độ của parabol và các điểm M, N vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) với \(Oy\) là tia \(OF\) và \(Ox\) là tia thuộc đường thẳng vuông góc với \(OF\) tại \(O\), khi đó parabol đi qua gốc tọa độ và có dạng \(y = a{x^2}\) và hoành độ của điểm N bằng \(\dfrac{{MN}}{2}\) hay \(N\) có tọa độ là \(N\left( {45;9} \right)\),

Parabol đi qua hai điểm \(M,N\) nên ta có: \(9 = a{.45^2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{{225}}\)

\( \Rightarrow \) Parabol là: \(y = \dfrac{1}{{225}}{x^2}\).

Đường thẳng vuông góc với trục của parabol tại \(F\) cắt parabol tại 2 điểm \(A,\,\,B\) nên hai điểm A và B thuộc parabol.

Gọi tọa độ của \(F\) là \(F\left( {0;t} \right)\,\,\left( {t > 0} \right)\), tọa độ của \(B\) là \(B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\).

\(OF = \dfrac{1}{4}AB \Rightarrow FB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4OF = 2OF = 2t\)\( \Rightarrow {x_B} = FB = 2t\)

\(F,A,B\) cùng thuộc đường thẳng \(AB\) và song song với trục hoành nên có tung độ bằng nhau.

\( \Rightarrow {y_B} = t \Rightarrow B\left( {2t;t} \right)\).

Vì \(B\) là điểm thuộc parabol \(y = \dfrac{1}{{225}}{x^2}\) nên

\(t = \dfrac{1}{{225}}.{\left( {2t} \right)^2} \Leftrightarrow 4{t^2} = 225t \Leftrightarrow 4{t^2} - 225t = 0 \Leftrightarrow t\left( {4t - 225} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \dfrac{{225}}{4}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow OF = t = \dfrac{{225}}{4} = 56,25\left( {cm} \right)\)

Vậy \(OF = 56,25cm\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.