Cho \(x,y\) là các số dương. Chứng minh: \(\dfrac{{x + y}}{{\sqrt {x\left( {3x + y} \right)} + \sqrt {y\left(

Câu hỏi số 555656:

Vận dụng cao

Cho \(x,y\) là các số dương. Chứng minh: \(\dfrac{{x + y}}{{\sqrt {x\left( {3x + y} \right)} + \sqrt {y\left( {3y + x} \right)} }} \ge \dfrac{1}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555656

Phương pháp giải

Biến đổi \(\dfrac{{x + y}}{{\sqrt {x\left( {3x + y} \right)} + \sqrt {y\left( {3y + x} \right)} }} = \dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{\sqrt {4x\left( {3x + y} \right)} + \sqrt {4y\left( {3y + x} \right)} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge 2\sqrt {ab} \) là: \(\sqrt {4x\left( {3x + y} \right)} \) và \(\sqrt {4y\left( {3y + x} \right)} \)

Từ đó có đpcm.

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{x + y}}{{\sqrt {x\left( {3x + y} \right)} + \sqrt {y\left( {3y + x} \right)} }} = \dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{\sqrt {4x\left( {3x + y} \right)} + \sqrt {4y\left( {3y + x} \right)} }}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge 2\sqrt {ab} \) ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4x\left( {3x + y} \right)} \le \dfrac{{4x + \left( {3x + y} \right)}}{2} = \dfrac{{7x + y}}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\sqrt {4y\left( {3y + x} \right)} \le \dfrac{{4y + \left( {3y + x} \right)}}{2} = \dfrac{{7y + x}}{2}\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (2) và (3), suy ra: \(\sqrt {4x\left( {3x + y} \right)} + \sqrt {4y\left( {3y + x} \right)} \le 4x + 4y\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (1) và (4), suy ra: \(\dfrac{{x + y}}{{\sqrt {x\left( {3x + y} \right)} + \sqrt {y\left( {3y + x} \right)} }} \ge \dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{4x + 4y}} = \dfrac{1}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link