Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M, N lần lượt là trung

Câu hỏi số 555783:

Vận dụng

Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SA. Em hãy dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CN.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555783

Giải chi tiết

Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai đường thẳng SM và CN rồi tính IK

Gọi E là trung điểm của AM, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NE \subset \left( {CNE} \right)\\SM//NE\end{array} \right. \Rightarrow SM//\left( {CNE} \right)\)

Do đó (CNE) là mặt phẳng chứa CN và song song với SM.

Trong (SCN), kẻ \(SF \bot NE\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}NE \bot SF\\NE \bot CS\end{array} \right. \Rightarrow NE \bot \left( {CSF} \right) \Rightarrow \left( {CSF} \right) \bot \left( {CNE} \right)\)

Trong (CSF) kẻ \(SH \bot CF \Rightarrow SH \bot (CNE)\).

Suy ra H là hình chiếu của S trên (CNE), từ H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại K, từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt SM tại I thì IK là đoạn vuông góc chung của SM và CN.

\( \Rightarrow d\left( {SM,CN} \right) = IK = SH\).

Tam giác SAB vuông tại A có SA = SB = a nên \(AB = a\sqrt 2 \).

Ta có \(SF = \dfrac{{AM}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CSF có: \(\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{F^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{{a^2}}}\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{a}{3}\).

Vậy \(d\left( {SM,CN} \right) = IK = SH = \dfrac{a}{3}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.