Cho các số thực dương \(a,b\). Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a

Câu hỏi số 556451:

Thông hiểu

Cho các số thực dương \(a,b\). Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556451

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt[4]{b}}}.\sqrt[4]{b} + \dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt[4]{a}}}.\sqrt[4]{a}} \right)^2} \le \left[ {{{\left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt[4]{b}}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt[4]{a}}}} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \le \left( {\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt a }}} \right).\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ \Rightarrow \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt a }}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link